Apuntes sobre modelos matemáticos para COVID-19 y proyecciones usando el calculador de epidemias online
Hasta hace poco más de una semana yo no sabía nada de modelos matemáticos para epidemias. Tampoco me he convertido en experto de la noche a la mañana. Sin embargo, como esta no es mi área de trabajo, probablemente algunas cosas se me olvidarán, así que escribí esto a manera de apuntes y recopilación tanto para mí, como para cualquier persona con la curiosidad de aprender lo más básico sobre el tema.
Por Enrique Pazos
En resumen
Desde el punto de vista de los modelos matemáticos, necesitamos saber 3 números para calcular la propagación de una epidemia. Estos son el número básico de reproducción (R0), el tiempo de incubación (Tinc) y el tiempo de infección (Tinf). Con ellos podemos establecer las razones de cambio en el tiempo para el número de personas que están sanas (Susceptibles), los que han sido contagiados pero aún no transmiten la enfermedad (Expuestos), los que transmiten activamente el virus (Infectados) y los que llegan a recuperarse (Recuperados). Este modelo se conoce por sus siglas como SEIR.
Con el modelo SEIR podemos estudiar casos reales o hipotéticos. De especial importancia es analizar el efecto que tiene el confinamiento y el distanciamiento social. Vemos que si tales medidas se implementan oportunamente, la propagación de la enfermedad se puede frenar.
También es importante entender que al frenar la propagación se disminuye el número de infectados pero también se prolonga la aparición de estos, haciendo que el número pico se dé en un tiempo mucho mayor (detalles más abajo). La única forma de frenar el covid-19 es un aislamiento drástico.
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Modelo SEIR
En esta sección analizamos y deducimos el modelo SEIR. Los que no quieran tantos detalles puedan saltarse a la parte de las proyecciones.
Uno de los modelos utilizados para estudiar epidemias divide al total de la población en cuatro categorías. Las personas pueden ser: Susceptibles, Expuestas, Infectadas y Recuperadas. Cada categoría o compartimento es un paso en el proceso de contagio de una persona. Las personas Susceptibles (sanas) contraen el virus y pasan a ser Expuestas. Las personas Expuestas tienen el virus pero aún no lo transmiten debido a que existe un tiempo de incubación. Después de ese tiempo las personas Expuestas pasan a ser Infectadas. Allí es donde se da la transmisión del virus hasta que eventualmente la persona se recupera y pasa a la categoría de Recuperada.
La clave del modelo es poder calcular cuánta gente pasa de una categoría a la siguiente en un día determinado. Esto se hace con base en tres números, que son:
- El tiempo de incubación, que llamaremos Tinc.
2. El tiempo que la persona permanece infecciosa, que llamaremos Tinf.
3. El número básico de reproducción, que llamaremos R0.
4. El más importante para determinar la expansión de la enfermedad es el último (R0), ya que representa el número promedio de personas sanas que pueden ser contagiadas por un individuo infectado.
Ejemplo con 100 personas
Para entender el papel que juega cada número consideremos un ejemplo. Supongamos que tenemos una población de N = 100 personas, de las cuales 1 está infectada y 99 son susceptibles (sanas). Supongamos además que R0 = 4 personas, Tinc = 5 días y Tinf = 3 días.
Si R0 = 4, significa que el Infectado tiene contacto con 4 personas sanas durante el tiempo que permanece infeccioso, es decir, durante 3 días (Tinf). En otras palabras, la cantidad de personas Expuestas en un día es: R0/Tinf = 4/3 = 1.33. De esta forma, cuando ha transcurrido un día, las personas Susceptibles disminuyen en 1.33 y las personas Expuestas aumentan en el mismo número. Es decir:
[# Susceptibles en el día 2] = [# Susceptibles en el día 1] — R0/Tinf
Después de varios días el número de Infectados aumenta. Supongamos que en el día 20 tenemos 52 Susceptibles, 16 Expuestos, 10 Infectados y 22 Recuperados (notemos que la suma da 100, como debe ser). Para el día siguiente, según el párrafo anterior, cada Infectado habrá tenido contacto con 1.33 personas (R0/Tinf), por tanto, la cantidad de contactos es 1.33 por la cantidad de Infectados: 1.33*10=13.3. Ahora bien, de esas 13.3 personas no todas son Susceptibles porque en la población ya hay Expuestos, Infectados y Recuperados. El contacto del Infectado produce un Expuesto solo si el contacto sucede con un Susceptible. Dado que la fracción de Susceptibles en la población es S/N = 52/100=52%, entonces el número estimado de Expuestos tiene que ser el 52% de 13.3, es decir: 0.52*13.3 = 6.92. Resumiendo:
[# Susceptibles en el día 21] = [# Susceptibles en el día 20] — R0/Tinf *I*S/N,
donde I = 10 (Infectados), S=52 (Susceptibles) y N=100 (población total). Esta es la fórmula para calcular la razón de cambio en el número de personas Susceptibles.
La cantidad en la que disminuye el número de Susceptibles es la misma en la que aumentan los Expuestos. Adicionalmente, después de 5 días (el tiempo de incubación Tinc) un Expuesto se convierte en Infectado, en otras palabras: en 1 día, 1/5 personas pasan de ser Expuestos a ser Infectados. La cantidad total de Expuestos pasando a Infectados en 1 día es 1/5 por la cantidad de Expuestos: 1/Tinc*E. En síntesis:
[# Expuestos en el día n+1] = [# Expuestos en el día n] + R0/Tinf *I*S/N — E/Tinc.
La cantidad en la que disminuye en número de Expuestos es la misma en la que aumentan los Infectados. Sin embargo, después de un promedio de 3 días (el tiempo de infección Tinf) un Infectado se convierte en un Recuperado, es decir: en 1 día, 1/3 personas pasan de ser Infectados a ser Recuperados. La cantidad total de Infectados pasando a Recuperados en 1 día es 1/3 por la cantidad de Infectados: 1/Tinf*I. Resumiendo:
[# Infectados en el día n+1] = [# Infectados en el día n] + E/Tinc — I/Tinf.
Finalmente, la cantidad en la que disminuye el número de Infectados es la misma en la que aumentan los Recuperados, para lo cual simplemente tenemos que:
[# Recuperados en el día n+1] = [# Recuperados en el día n] + I/Tinf.
Fórmulas
Las fórmulas que hemos deducido nos dan la razón de cambio en el tiempo en las cantidades de Susceptibles (S), Expuestos (E), Infectados (I) y Recuperados (R). El lenguaje matemático que se utiliza es el de las ecuaciones diferenciales. Dadas las cantidades S, E, I y R, sus razones de cambio, S’, E’, I’ y R’ se calculan así:
Estas son las ecuaciones del modelo SEIR. Su solución sirve para estudiar el comportamiento de propagación de una epidemia.
Proyecciones con el modelo SEIR
Para utilizar el modelo SEIR se necesita tener datos. Estos datos son
- Los valores de los parámetros: número básico de reproducción (R0), tiempo de incubación (Tinc) y tiempo de infección (Tinf).
- Los valores iniciales de las cantidades de Susceptibles (S), Expuestos (E), Infectados (I) y Recuperados (R).
Los parámetros del covid-19 han sido reportados por varias fuentes. Los valores más utilizados son R0 = 2.2 personas, Tinc = 5.2 días y Tinf = 2.9 días.
Sin embargo, estos números tienen un rango de variación. Por ejemplo, Li et al. reporta un intervalo de 1.4 a 3.9 para R0, de 4.1 a 7.0 para Tinc y de 0.1 a 13.8 para Tinf.
El número más importante es R0, pues representa el número promedio de contagios que una sola persona infectada puede generar. Si R0 es mayor que 1, la epidemia crece. Si R0 es menor que 1, la epidemia se extingue. El objetivo del encierro y la cuarentena es bajar todo lo posible el valor de R0.
La estimación de R0 se puede hacer por varios métodos matemáticos. Liu et al. recopilan los valores encontrados en 12 estudios realizados para Wuhan y China en las etapas tempranas de la epidemia. Los valores de R0 van desde 1.95 hasta 6.47 con un promedio de 3.28.
Es de esperar que las aglomeraciones y altas densidades de personas hagan que R0 tenga un valor más alto. Mientras que la cuarentena y el aislamiento tienen el efecto de reducirlo.
El otro conjunto de datos son los valores iniciales de S, E, I y R. El valor inicial de S es el total de la población sana. Si fuera la ciudad de Guatemala sería alrededor de 1 millón de personas. Al inicio no hay Expuestos ni Recuperados. En cuanto a los Infectados, basta con una persona para iniciar la epidemia, pero si tenemos más, la epidemia crece con mayor rapidez.
Teniendo todos los datos, procedemos a resolver las ecuaciones del modelo SEIR, lo cual se hace con métodos numéricos para ecuaciones diferenciales. Afortunadamente, Gabriel Go ha hecho un magnífico Epidemic Calculator con el que podemos resolver el modelo fácilmente.
Simulando el covid-19
Con el Epidemic Calculator podemos ingresar los datos anteriores y el resultado se ve así
La gráfica muestra el número de Infectados a medida que el tiempo transcurre. Para este caso con una población inicial (Susceptibles) de ~1,000,000 y un solo Infectado inicial, alcanzamos un pico de ~66,000 Infectados en el día 112, es decir, 3 meses y 22 días después de la aparición del primer Infectado.
Si existen aglomeraciones, lugares concurridos, desconocimiento de estar infectado o ignorancia de la gravedad de la situación; el número de reproducción R0 aumenta. La situación cambia dramáticamente:
Si tomamos un R0 = 4.3, ahora tenemos un pico de ~148,000 infectados en el día 54 (1 mes y 24 días) desde la aparición del primer infectado. Es una diferencia de ~82,000 Infectados entre estos dos casos.
Al momento de escribir esto (24/mar/2020), las estimaciones realizadas por dos profesores de la Escuela de Ciencias Físicas y Matemáticas de la USAC apuntan a que R0 es 4.3 para nuestro país.
Distanciamiento y cuarentena
El Epidemic Calculator también nos deja simular el efecto del distanciamiento y la cuarentena. Como mencionamos antes, para bajar el valor de R0 necesitamos aislar a las personas y así minimizar el número de posibles contagios.
Vamos a suponer que tenemos inicialmente 10 Infectados en una población de ~1 millón de personas.
Ahora alcanzamos un pico de ~147,000 Infectados después de 46 días. La forma de tomar en cuenta las medidas de mitigación consiste en cambiar el número R0 a partir de cierto momento. Vamos a asumir que se toma una acción contundente de aislamiento y distancia 20 días después de la aparición de los 10 Infectados. Si el efecto de estas medidas reduce R0 a un valor menor que 1, digamos 0.77, el resultado es el siguiente:
Esta vez el pico de infección es de ~1,300 personas en el día 24, tan solo 4 días después de haber impuesto aislamiento y encierro el número de casos empieza a disminuir. La diferencia es abrumadora, la cantidad pico de Infectados se reduce más de 100 veces solo con tomar distancia y quedarnos en casa.
Podemos resumir lo anterior diciendo que Encierro = disminuir R0.
En un estudio de la propagación de coronavirus en China, Shen et al. estiman que R0 tuvo un valor de 4.7 cuando la epidemia empezó el 12 de diciembre y ha ido bajando paulatinamente, razón por la cual se espera que la propagación se detenga.
Aplanando la curva
Vamos a colocar cuatro curvas de Infectados en la misma gráfica para ver el efecto de adoptar medidas de encierro. En la primera curva (púrpura) tenemos R0 = 4.3 y dejamos que el tiempo pase sin hacer nada, es decir, sin mandar a la gente a sus casas. En los otros tres casos, asumimos diferentes niveles de encierro, que hacen que R0 baje a 2.15, 1.50 y 0.80. Lo ideal es este último valor: que R0 sea menor que 1.
El efecto de la mitigación lo muestran las curvas verde y celeste: son curvas más planas. Eso implica que el distanciamiento social hace que el número de infectados aumente más lentamente. Todavía vamos a tener un pico, pero es más pequeño y sucede muchos días después. Esto es muy importante porque vemos que el encierro tiene dos efectos:
- Disminuye el número máximo (pico) de infectados.
- La velocidad de propagación se hace lenta, retrasando la aparición del pico
Esto último implica que las medidas de mitigación se deben mantener por más tiempo. En este caso hablamos de un período de más de 3 meses.
La única manera de frenar el virus rápidamente es hacer que R0 sea menor que 1. La línea amarilla muestra un R0 de 0.8 y solo en ese caso la propagación se extingue rápidamente. Eso equivaldría a imponer condiciones severas de distanciamiento entre personas.
¿Proyecciones para Guatemala?
Para hacer proyecciones confiables necesitamos datos. Por ejemplo, Tang et al. utilizan información de casos reportados (en China) en un período de dos semanas en el cual los casos ascienden hasta 600.
En Guatemala sabemos que la cantidad de pruebas realizadas es muy poca y por consiguiente no se han reportado muchos casos. Para tener información confiable se necesita hacer una mayor cantidad de pruebas y acumular más tiempo de observación.
Tener datos locales es importante ya que con base en ellos se puede estimar los parámetros R0, Tinf y Tinc propios de nuestra situación. Ya que se conoce poco sobre la naturaleza del coronavirus es razonable pensar que su comportamiento varíe según las características de la población en la que se propaga.
Conclusión
De acuerdo con lo que ha ocurrido en China y con la información de los modelos matemáticos, vemos que la manera más efectiva de reducir el impacto del covid-19 es reduciendo el número básico de reproducción, R0. Esto solo se logra en la medida que mantengamos el encierro, que nos quedemos en casa y tomemos distancia física entre nosotros.
Tomado de:
https://materviva.wordpress.com/2020/03/25/apuntes-sobre-modelos-matematicos-para-covid-19/
